La música y las matemáticas, ¿Tienen relación?

Muchas veces me he preguntado si en éste mundo existe algo que excluya de forma definitiva a las matemáticas o simplemente su esencia, pero, me he dado cuenta que no, hasta  la naturaleza sigue patrones,  e incluso muchos científicos y artistas han llegado ha hablar de la relación de la belleza con una proporción matemática, a la que llaman la proporción aurea o dorada, de la que me gustaría escribir con mucho detalle en otra ocasión.

Música y Matemáticas

Ahora, pensemos en la música, es difícil creer que haya alguien a quien no le guste la música, e incluso en ella encontramos a las matemáticas, pero, ¿cómo influenciaron éstas  en su desarrollo?.

Bueno, pues recientemente leí un poco sobre éste tema, me topé con cosas interesantes y me gustaría compartir la información con todos ustedes. Se tienen datos de que la primera relación directa de la música con los números fue encontrada en la antigua Grecia, incluso hay una historia que nos dice que Pitágoras fue quien notó esta relación mientras se encontraban caminando cerca de un grupo de herreros, y escuchó algo extraño, cuando ciertos mazos golpeaban el yunque se producía un sonido armonioso, mientras que en otros provocaban uno inarmónico.

Así que investigó y encontró una relación matemática entre el peso de los martillos y los sonidos producidos, si el peso de dos martillos tenía una relación entre dos números enteros, al golpearse producirían un sonido armonioso, la historia parece ser un mito, pero la relación que encontró Pitágoras es real.

Cuando se habla de relaciones la más sencilla de todas es 2:1, combinando un martillo con uno de la mitad de su peso, producirá el intervalo musical más simple, la octava- el intervalo entre el primer tono musical y otro, con la mitad o el doble de su frecuencia. Y así, seguía la relación para obtener los demás sonidos.

Esto reveló que éstas fracciones estaban relacionadas con las frecuencias de los sonidos producidos. Nosotros escuchamos los sonidos debido a la vibraciones en el aire y la razón de estás vibraciones es llamada frecuencia, que generalmente es medida en Hertz (Hz). Las más altas frecuencias corresponden a las notas más altas, por ejemplo una frecuencia de 440 Hz, equivale a la nota de “La”.

Los griegos no sabían acerca de esto a ciencia cierta, pero usaron las fracciones para construir su escala musical, y lo aplicaron a los instrumentos de cuerda y de percusión.

De aquí salió la afinación pitagórica y la escala musical griega, que esta construida por una serie de cinco intervalos basados en la relación 3:2. Por ejemplo supongamos que tenemos a “La” con 440 Hz, para encontrar la quinta arriba de ésta sería (3/2)*440= 660 Hz , y para la siguiente (3/2)*660=990 Hz, y así para toda la escala, pero ésta última está más arriba de una octava arriba de nuestra original La. Para regresar a nuestro rango original, con la relación 2:1, tendremos una frecuencia de 495 Hz, una relación de 9:8 por arriba de la original 440, si continuamos esta secuencia en doce pasos obtendremos doce notas y tendremos que volver a la original.

Sólo que existe un pequeño problema, es incorrecto!!!, no concuerda,  ya que al aplicar  la relación 3:2 es como multiplicarla por 3/2 repetidamente, que en realidad sería como si fuera (3/2)^12, esto cubre siete octavos, y por otro lado tenemos que  equivale a multiplicar la frecuencia original por 2^7, y ese es el detalle, por que mientras 2^7=128, (3/2)^(12)=129.75 aprox. y los dos métodos para definir la escala musical, no coinciden. Cuando hablo de esto me refiero a las relaciones 2:1 y 3:2.

Pero eso no le importo a los griegos y basaron en quintos exactos, de tal modo que los sonidos fuera de tono fueran evitados, pero el problema fue cuando la gente comenzó a crear música más complicada, tuvo que desechar  éste sistema, pues muchas veces sonaba desafinado.

El nuevo método fue el “Temperamento igual” que es el sistema de afinación más usado actualmente, y se basa en que doce notas son igual a una octava, remediando el error de afinación del método griego. Esto funciona porque lo que queríamos era una relación de tal forma que cuando fuera multiplicada por si misma 12 veces,  resulte en la relación 2:1 una octava, en lenguaje matemático x^12=2,  es decir el “Temperamento igual” es equivalente a la raíz doceava de 2.

Está respuesta habría horrorizado a Pitágoras, ya que el creía que todos los números podían ser expresado como la razón entre dos números enteros, y cómo sabemos encontrar la raíz de 2 causó una gran polémica entre los griegos, y si no se hubiera encontrado ésta relación no podríamos escuchar la variedad de música tan compleja que tenemos hoy en día.

Por último como dato curioso me gustaría agregar que si queremos hacer música jugando con la frecuencia de los bips de la computadora, seguramente tendremos que considerar ésta relación.